Ideale Gase, Gasgleichung

Ein ideales Gas ist ein theoretisches Modell, das die Realität vereinfacht: Man nimmt an, dass die Gasteilchen punktförmig sind (kein Eigenvolumen besitzen) und außer bei elastischen Stößen keine Wechselwirkungen (Anziehungskräfte) aufeinander ausüben. Die Geschwindigkeitsrichtungen der Teilchen sind statistisch gleichmäßig über alle Raumrichtungen verteilt. Eine Energiezufuhr (z. B. Wärme) erhöht die kinetische Energie und damit die Temperatur des Gases.

Um den Zustand eines Gases zu beschreiben, nutzt man vier Zustandsgrößen: den Druck (p) (Kraft pro Fläche), das Volumen (V) (der eingenommene Raum), die Temperatur (T) (ein Maß für die kinetische Energie) und die Stoffmenge (n) (Anzahl der Teilchen in Mol).

Bei Prozessen mit konstanter Teilchenzahl bleiben die Stoffmenge n und die Teilchenzahl N sowie die Naturkonstanten kB und R unverändert. Nur die Zustandsgrößen p, V und T können sich ändern. Hält man nun eine dieser drei Größen künstlich fest, so ergeben sich die drei wichtigen Spezialfälle der Gasgesetze.

Das Boyle-Mariotte-Gesetz besagt, dass bei konstanter Temperatur (isotherm) der Druck und das Volumen indirekt proportional zueinander sind (p * V = konstant). Drückt man ein Gas in einer Spritze zusammen (Volumen sinkt), steigt der Druck im Inneren an. Auch wenn man einem Behälter weiteres Gas zuführt, sodass der Druck und die Temperatur zunächst ansteigen, und man dann abwartet, bis die Temperatur wieder auf den Ausgangswert fällt, stellt sich eine isotherme Zustandsänderung ein: Das Volumen passt sich so an, dass das Produkt p * V konstant bleibt.

Das Gesetz von Gay-Lussac beschreibt, dass bei konstantem Druck (isobar) das Volumen eines Gases direkt proportional zu seiner absoluten Temperatur ist (V / T = konstant). Ein Heißluftballon steigt auf, weil sich die Luft beim Erhitzen ausdehnt und dadurch eine geringere Dichte als die Umgebungsluft erhält.

Das Gesetz von Amontons (oft auch zweites Gesetz von Gay-Lussac genannt) stellt fest, dass bei konstantem Volumen (isochor) der Druck direkt proportional zur Temperatur steigt (p / T = konstant). Dies ist der Grund, warum Spraydosen bei Hitze explodieren können: Die Teilchen bewegen sich schneller und hämmern mit mehr Kraft gegen die Wände.

Das Gesetz von Avogadro ergänzt diese Beziehungen: Bei gleicher Temperatur und gleichem Druck enthält das gleiche Volumen eines Gases stets die gleiche Anzahl an Teilchen. Anders ausgedrückt: V ist proportional zu n (V = k * n).

Setzt man die Proportionalitäten V ∝ 1/p, V ∝ T und V ∝ n zusammen, so ergibt sich V ∝ (n * T) / p. Führt man eine Proportionalitätskonstante R ein, erhält man die ideale Gasgleichung: p * V = n * R * T.

Die ideale Gasgleichung führt alle diese Einzelgesetze in einer Formel zusammen: p * V = n * R * T. Diese Gleichung lässt sich auch über die Teilchenzahl N ausdrücken: p * V = N * kB * T. Dabei ist R die universelle Gaskonstante und kB die Boltzmann-Konstante. Die Avogadro-Konstante NA = 6,022 * 10^23 mol⁻¹ verbindet beide Formen: n * NA = N und kB = R / NA. Der Wert von R hängt von den gewählten Einheiten ab. In SI-Einheiten (Druck in Pascal, Volumen in m^3) ist R = 8,314 J/(mol*K) oder 8,314 m^3*Pa/(mol*K). Werden Druck in Atmosphären und Volumen in Litern angegeben, beträgt R = 0,0821 L*atm/(mol*K). Merke dir den Zahlenwert grob als 8,3 für SI-Rechnungen.

Die ideale Gasgleichung gilt exakt nur für reine Gase. Gasgemische wie Luft weichen aufgrund von Wechselwirkungen zwischen den Teilchen mehr oder weniger von diesem idealen Verhalten ab. In der Praxis können auch Gemische näherungsweise damit beschrieben werden, wenn die Bedingungen (geringer Druck, hohe Temperatur) die Idealisierung stützen.

In allen Gasberechnungen muss die Temperatur (T) zwingend in der Einheit Kelvin angegeben werden. Der Nullpunkt der Kelvin-Skala (0 K = -273,15 °C) entspricht dem absoluten Stillstand der Teilchen; negative Werte existieren hier nicht, was mathematische Fehler wie negative Volumina verhindert.