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Die Bruchrechnung dient der Darstellung von Anteilen und Verhältnissen, wobei der **Zähler** die Anzahl der betrachteten Teile und der **Nenner** die Gesamtzahl der Teile eines Ganzen angibt. Man unterscheidet echte Brüche (Wert < 1) und unechte Brüche (Wert ≥ 1), die als gemischte Zahlen dargestellt werden können.
Ein Bruch ist im Grunde eine noch nicht ausgeführte Division. Der Zähler (oben) gibt an, wie viele Teile wir haben, während der Nenner (unten) angibt, in wie viele gleich große Teile das Ganze geteilt wurde. Ein Bruchstrich fungiert dabei als Divisionsoperator. Man unterscheidet echte Brüche (Zähler < Nenner, Wert kleiner als 1) und unechte Brüche (Zähler ≥ Nenner, Wert ≥ 1). Unechte Brüche lassen sich als gemischte Zahlen wie z.B. 5/3 = 1 2/3 darstellen; bei einem Scheinbruch ist der Zähler ein Vielfaches des Nenners, sodass der Bruch einer ganzen Zahl entspricht.
Das Kürzen und Erweitern sind die wichtigsten Werkzeuge zur Vereinfachung. Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert, beim Kürzen durch dieselbe Zahl dividiert. Der Wert des Anteils bleibt dabei identisch; man verändert lediglich die 'Feinheit' der Unterteilung. Ziel des Kürzens ist es, Zähler und Nenner teilerfremd zu machen, sodass sie keinen gemeinsamen Teiler außer 1 mehr haben.
Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen sie gleichnamig gemacht werden. Das bedeutet, sie müssen denselben Nenner besitzen. Dies erreicht man, indem man das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner sucht und die Brüche entsprechend erweitert. Zur Bestimmung des kgV zerlegt man die Nenner in Primfaktoren. Das kgV ist das Produkt aller vorkommenden Primfaktoren, wobei mehrfach vorkommende Faktoren nur einmal verwendet werden. Dann erweitert man jeden Bruch mit den fehlenden Faktoren.
Beim Vergleichen von Brüchen gelten einfache Regeln: Sind die Nenner gleich, so ist der Bruch mit größerem Zähler größer. Sind die Zähler gleich, ist der Bruch mit kleinerem Nenner größer. Bei unterschiedlichen Nennern und Zählern bringt man die Brüche durch Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner und vergleicht dann die Zähler.
Die Multiplikation von Brüchen ist die einfachste Operation: Man rechnet einfach 'Zähler mal Zähler' und 'Nenner mal Nenner'. Eine Kürzung vor der eigentlichen Multiplikation (über Kreuz) spart hier oft wertvolle Zeit bei der Berechnung im Kopf.
Die Division durch einen Bruch erfolgt durch die Multiplikation mit seinem Kehrwert. Um den Kehrwert zu bilden, vertauscht man einfach Zähler und Nenner des Divisors (der Zahl, durch die geteilt wird). Aus a/b : c/d wird also a/b · d/c.
Die Umwandlung von Brüchen in Dezimalzahlen gelingt besonders leicht, wenn der Nenner eine Zehnerpotenz wie 10, 100 oder 1000 ist: Man verschiebt das Komma des Zählers um so viele Stellen nach links, wie der Nenner Nullen hat. Hat der Zähler weniger Stellen, werden führende Nullen ergänzt (z.B. 3/100 = 0,03). Gemischte Zahlen schreibt man mit der ganzen Zahl vor dem Komma (z.B. 2 7/10 = 2,7). Durch Erweitern oder Kürzen lässt sich ein Nenner oft auf eine Zehnerpotenz bringen, was die Umwandlung vereinfacht (z.B. 3/5 = 6/10 = 0,6). Umgekehrt macht man aus einer Dezimalzahl einen Bruch, indem man die Ziffern nach dem Komma als Zähler über die passende Zehnerpotenz setzt und dann kürzt (z.B. 0,125 = 125/1000 = 1/8).
In der Medizin ist das schnelle Umrechnen von Brüchen in Dezimalzahlen essenziell für Verdünnungsreihen. Ein Bruch wie ¹/⁵ entspricht ⁰,² oder ²⁰\%. Das Verständnis dieser Verhältnisse ist die Basis für jede Dosierungsberechnung von Medikamenten.
