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Mathematik · Algebra
Zähler, Nenner und Brucharten, Kürzen und Erweitern, die vier Grundrechenarten mit Brüchen, Anteile im Alltag sowie Vergleichen und Umwandeln in Dezimalzahlen.
Ein Bruch ist eine Division, die noch nicht ausgerechnet ist. Addieren und Subtrahieren brauchen gleiche Nenner, Multiplizieren und Dividieren nicht.
Der Nenner sagt, in wie viele gleich große Teile das Ganze zerlegt ist, der Zähler zählt, wie viele davon du hast. 3/8 sind drei Achtel. Der Nenner ist nie 0.
| Art | Merkmal | Beispiel |
|---|---|---|
| echter Bruch | Zähler < Nenner, Wert < 1 | 3/8 |
| unechter Bruch | Zähler ≥ Nenner, Wert ≥ 1 | 17/5 |
| Scheinbruch | Sonderfall: Zähler Vielfaches des Nenners | 15/5 = 3 |
Einen unechten Bruch teilst du mit Rest: 17 : 5 = 3 Rest 2, also 3 2/5 (gemischte Zahl). Zurück: 2 3/4 = (2 · 4 + 3)/4 = 11/4.
Erweitern heißt, Zähler und Nenner mit derselben Zahl ≠ 0 zu multiplizieren, Kürzen, sie durch dieselbe Zahl zu teilen. Der Wert des Anteils bleibt dabei identisch, nur die Unterteilung wird feiner oder gröber: 3/4 = 9/12 = 15/20.
Interaktive Bruchstreifen
Deine AufgabeErweitere 3/4 mit 3. Bleibt die gefärbte Länge gleich? Lies danach 5/4 als gemischte Zahl ab.
Gekürzt ist ein Bruch, wenn Zähler und Nenner teilerfremd sind. Du darfst in mehreren Schritten kürzen; mit dem größten gemeinsamen Teiler bist du sofort fertig: 18/24 durch 6 ergibt 3/4. Zwei Brüche sind gleichwertig, wenn die Kreuzprodukte gleich sind: 10/15 und 2/3 geben 10 · 3 = 15 · 2 = 30.
5/6 + 3/8: kgV(6, 8) = 2³ · 3 = 24, also 20/24 + 9/24 = 29/24 = 1 5/24. Und 1/4 − 2/3 = 3/12 − 8/12 = −5/12.
Bei der Multiplikation rechnest du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Kürze vorher über Kreuz: 4/9 · 3/8 = 1/3 · 1/2 = 1/6.
a/b : c/d = a/b · d/cnur der Divisor wird umgedreht (Kehrwert)
5/6 : 10/9 = 5/6 · 9/10 = 3/4. Ein Doppelbruch ist dieselbe Rechnung: (3/4) / (9/8) = 3/4 · 8/9 = 2/3.
Gleicher Nenner: Der größere Zähler gewinnt. Gleicher Zähler: Der kleinere Nenner gewinnt. Sonst über Kreuz: Bei 5/7 gegen 7/10 steht 5 · 10 = 50 gegen 7 · 7 = 49, also ist 5/7 größer.
Lässt sich der Nenner auf 10, 100 oder 1000 erweitern, liest du die Dezimalzahl ab: 7/20 = 35/100 = 0,35. Sonst teilst du schriftlich: 3/8 = 3 : 8 = 0,375.
Zurück setzt du die Nachkommastellen über 10, 100 oder 1000 und kürzt: 0,375 = 375/1000 = 3/8. Prozent daraus → Ausführlich in: Prozentrechnung
Halbe und Drittel sind verschieden große Teile, du kannst sie erst zählen, wenn sie gleich groß sind: 3/6 + 2/6 = 5/6.
