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Gleichungen und Ungleichungen sind mathematische Aussagen über die Beziehung zweier Terme. Bei Gleichungen wird der Wert einer unbekannten Variable durch Äquivalenzumformungen isoliert. Ungleichungen verwenden Vergleichszeichen und erfordern spezielle Regeln beim Umformen. Lineare und quadratische Gleichungen können mit standardisierten Verfahren gelöst werden.
Eine Gleichung kann man sich wie eine Balkenwaage im Gleichgewicht vorstellen: Alles, was auf der linken Seite steht, hat denselben Wert wie die rechte Seite. Das Ziel in der Algebra ist es meist, den Wert einer unbekannten Variable (meist x) herauszufinden, indem man sie 'isoliert', also alleine auf eine Seite der Waage bringt.
Um das Gleichgewicht der Waage zu erhalten, müssen wir Äquivalenzumformungen (gleichwertige Umformungen) anwenden. Das bedeutet: Jede Rechenoperation, die wir auf der linken Seite durchführen, müssen wir exakt so auch auf der rechten Seite ausführen. Nur so bleibt die mathematische Korrektheit gewahrt.
Beim Isolieren von Variablen gehen wir strategisch vor, indem wir Rechenoperationen rückgängig machen. Die Umkehrung einer Addition ist die Subtraktion, und die Umkehrung einer Multiplikation ist die Division. Wenn wir also +5 auf einer Seite entfernen wollen, rechnen wir auf beiden Seiten -5.
Die Reihenfolge der Umformungen folgt dem Prinzip, die Variable 'von außen nach innen' freizuschälen. Während wir beim Rechnen die Regel Punkt- vor Strichrechnung (Multiplikation/Division vor Addition/Subtraktion) beachten, lösen wir Gleichungen oft in der umgekehrten Reihenfolge auf: Zuerst werden meist die Strichrechnungen (Addition/Subtraktion) entfernt, dann die Punktrechnungen.
Enthält eine Gleichung einen Bruch, ist es oft am effizientesten, die gesamte Gleichung mit dem Nenner (die Zahl unter dem Bruchstrich) zu multiplizieren. Dadurch wird der Bruch 'aufgelöst', was die weitere Berechnung vereinfacht. Dies ist besonders bei medizinischen Formeln wie der Konzentrationsberechnung hilfreich.
Klammern in Gleichungen können auf zwei Arten behandelt werden: Entweder man löst sie zuerst durch Ausmultiplizieren (jeden Term in der Klammer mit dem Faktor davor malnehmen) auf, oder man dividiert die gesamte Gleichung durch den Faktor vor der Klammer, sofern dieser kein Teil einer Summe ist.
In der medizinischen Praxis begegnen uns Gleichungen oft als Formeln, wie etwa bei der Dichte (ρ = m/V). Hier müssen wir in der Lage sein, die Formel nach jeder beliebigen Variable umzustellen, zum Beispiel nach dem Volumen V = m/ρ. Das Prinzip der Äquivalenzumformung bleibt dabei identisch zu rein numerischen Aufgaben.
Neben Gleichungen gibt es auch Ungleichungen. Statt des Gleichheitszeichens stehen hier Vergleichszeichen wie < (kleiner), > (größer), ≤ (kleiner oder gleich) oder ≥ (größer oder gleich). Ungleichungen können oft mehrere Lösungen haben. Eine entscheidende Regel beim Umformen: Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl dividiert, dreht sich das Vergleichszeichen um. Beispiel: -2x + 3 > 11 wird zu -2x > 8 und nach Division durch -2 zu x < -4.
Lineare Gleichungen mit einer Variablen haben die Form a₁x + a₀ = 0 (wobei a₁ ≠ 0). Durch Äquivalenzumformung erhält man die eindeutige Lösung x = -a₀ / a₁. Als konkretes Beispiel: 8x + 3 = 2x + 9 – hier ergibt sich nach schrittweisem Umformen x = 1. Lineare Gleichungen mit zwei Variablen (ax + by = c) liefern als Lösung ein Zahlenpaar (x; y).
Quadratische Gleichungen (allgemeine Form: a₂x² + a₁x + a₀ = 0, a₂ ≠ 0) werden oft mit der pq-Formel gelöst. Dazu bringt man die Gleichung in die Normalform x² + px + q = 0, wobei p = a₁/a₂ und q = a₀/a₂. Die Lösungen sind dann: x₁,₂ = -p/2 ± √((p/2)² - q). Beispiel: Für x² + 5x - 3 = 0 ist p = 5, q = -3, und die Lösungen lauten x₁ ≈ 0,54 sowie x₂ ≈ -5,54.
