Essenzielle Cookies sind nötig. Analyse und Werbemessung nur mit deiner Zustimmung.
Mathematik · Algebra
Äquivalenzumformung, lineare Gleichungen mit Klammern und Brüchen, Ungleichungen, Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten sowie quadratische Gleichungen mit pq-Formel und Vieta.
Eine Gleichung ist eine Waage: Was du links tust, tust du rechts. Bei einer Ungleichung dreht sich das Zeichen, wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst oder teilst.
Äquivalenzumformungen ändern die Lösung nicht: auf beiden Seiten dasselbe addieren, subtrahieren, mit derselben Zahl ≠ 0 multiplizieren oder durch sie teilen.
5x − 7 = 2x + 11
Nie mit 0 multiplizieren oder durch 0 teilen. Auch Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung: Aus x = 2 wird x² = 4 mit der Zusatzlösung −2.
Klammer: Multipliziert der Faktor die ganze Seite, teilst du durch ihn: 2(x − 3) = 14 gibt x − 3 = 7 (oder ausmultipliziert 2x − 6 = 14), also x = 10. Bruch: Multipliziere mit dem Nenner. (2x + 1)/3 = 5 gibt 2x + 1 = 15, also x = 7.
Bruch gleich Bruch: über Kreuz. 6/(x − 1) = 2 gibt 6 = 2x − 2, also x = 4. Nenner ≠ 0 (hier x ≠ 1).
Formeln stellst du genauso um: ρ = m/V wird zu V = m/ρ. → Ausführlich in: Dichte
Textaufgabe: „Ein Drittel einer Zahl plus 4 ergibt 10“ ist x/3 + 4 = 10, also x = 18.
Steht am Ende nur noch eine Zahl: 4(x + 1) = 4x + 9 wird zu 4 = 9, falsch: keine Lösung. 5(x − 1) = 5x − 5 wird zu −5 = −5, stimmt immer: jedes x ist Lösung.
Bei <, >, ≤ und ≥ ist die Lösung ein ganzer Bereich. Du formst um wie bei Gleichungen, drehst das Zeichen aber um, wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch sie teilst. Der Betrag |x| ist der Abstand von 0 auf der Zahlengeraden: |−5| = |5| = 5.
4 − 3x ≥ 19 gibt −3x ≥ 15, geteilt durch −3 also x ≤ −5. Menge: L = {x | x ≤ −5}.
Eine Gleichung ax + by = c hat unendlich viele Zahlenpaare (x; y), erst zwei legen das Paar meist fest (sonst keine oder unendlich viele Lösungen). Einsetzen: y = 2x − 1 und 3x + y = 14 gibt 5x − 1 = 14, also x = 3 und y = 5. Addieren: x + y = 10 und x − y = 4 geben 2x = 14, also x = 7 und y = 3.
Teile ax² + bx + c = 0 durch a (a ≠ 0), dann steht die Normalform x² + px + q = 0 da (p = b/a, q = c/a).
x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)pq-Formel, Diskriminante D = (p/2)² − q
x² + 4x − 12 = 0: p = 4, q = −12, D = 2² + 12 = 16, also x = −2 ± 4, x₁ = 2 und x₂ = −6. D > 0 gibt zwei Lösungen, D = 0 eine, D < 0 keine reelle: Die Parabel schneidet die x-Achse zweimal, berührt sie oder verfehlt sie.
Satz von Vieta: x₁ + x₂ = −p und x₁ · x₂ = q. Fehlt q, klammerst du aus: x² − 5x = x(x − 5) = 0 gibt x = 0 oder x = 5.
Interaktive Darstellung
Deine AufgabeVerändere p, q und die Schranke c: Wann schneidet die Parabel die Gerade y = c in zwei Punkten, wann berührt sie sie nur, und wann gibt es keine reelle Lösung? Vergleiche die markierten Schnittpunkte mit den Lösungen x₁ und x₂ der pq-Formel und teste mit x₀, für welche x-Werte f(x) ≥ c erfüllt ist.
