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Mathematik · Algebra
Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz, Erhöhen und Zurückrechnen, Prozentpunkte und Risikoreduktion, Konzentrationen und Verdünnen, Promille und Zinsen.
Prozent heißt „von Hundert“. Bei jeder Aufgabe klärst du zuerst: Worauf bezieht sich der Prozentsatz, was ist das Ganze?
Stell dir einen Kuchen vor. Der ganze Kuchen ist der Grundwert G (100 %), dein Stück der Prozentwert W, und der Prozentsatz p sagt, wie viele von hundert Teilen du nimmst.
Wiegt der Kuchen 400 g und du nimmst 25 %, sind das 100 g. Auf einer Hundertertafel sind das 25 von 100 Kästchen; ein Kästchen entspricht 1 % = 4 g.
W = G · p / 100p als Zahl: 25 für 25 %
Umgestellt: p = W · 100 / G und G = W · 100 / p. Von 240 Patienten haben 15 % Fieber: W = 240 · 15 / 100 = 36. Umgekehrt: 36 von 240 sind 36 · 100 / 240 = 15 %; sind 36 Patienten 15 %, ist G = 36 · 100 / 15 = 240.
Ohne Formel geht es als Dreisatz: 100 % entsprechen G, p % entsprechen W. Im Kopf hilft die 10 %-Regel: Komma eine Stelle nach links. 15 % von 80 sind 8 + 4 = 12. → Ausführlich in: Schlussrechnung
Eine Änderung rechnest du mit dem Wachstumsfaktor:
| Faktor |
|---|
| Beispiel |
|---|
| +20 % | · 1,2 | 50 € → 60 € |
| −25 % | · 0,75 | 40 € → 30 € |
Zurückrechnen heißt durch den Faktor teilen. Kostet etwas nach +20 % jetzt 144 €, war es 144 : 1,2 = 120 €. Nach −30 % sind es 63 €, vorher waren es 63 : 0,7 = 90 €.
Von 10 % auf 20 % sind es 10 Prozentpunkte, aber +100 %, denn der Anteil hat sich verdoppelt. Relative Änderung = Differenz : Ausgangswert. Impfquote 60 % auf 75 %: +15 Prozentpunkte, relativ 15 : 60 = +25 %.
Mehrere Änderungen multiplizierst du. +10 %, dann −10 % ergibt 1,1 · 0,9 = 0,99: aus 100 werden 110 und dann 99, weil die zweiten 10 % auf 110 gehen. Nach −20 % brauchst du +25 %, um wieder bei 100 zu sein (0,8 · 1,25 = 1).
Studien nutzen beides. Placebo 10 % Ereignisse, Verum 6 %:
| Größe | Rechnung | Ergebnis |
|---|---|---|
| absolute Risikoreduktion | 10 % − 6 % | 4 Prozentpunkte |
| relative Risikoreduktion | 4 : 10 | 40 % |
| relatives Risiko | 6 : 10 | 0,6 |
| NNT | 1 : 0,04 | 25 |
% (m/V) heißt Gramm je 100 ml. Eine isotone Kochsalzlösung (0,9 %) hat 0,9 g in 100 ml. Eine 5 %-Lösung hat 50 mg je ml: Für 150 mg brauchst du 3 ml.
Beim Verdünnen bleibt die Wirkstoffmenge gleich, nur das Volumen wächst.
c₁ · V₁ = c₂ · V₂10 % · 40 ml = 2 % · 200 ml
Für 200 ml einer 2 %-Lösung aus 10 %-Lösung nimmst du 40 ml und füllst auf 200 ml auf (rund 160 ml Lösungsmittel). Fehlt das Ausgangsvolumen, ist es dein x: 20 % · x = 8 % · (x + 90 ml) ergibt x = 60 ml. → Ausführlich in: Stöchiometrie
| Bruch | Dezimal | Prozent |
|---|---|---|
| 3/8 | 0,375 | 37,5 % |
| 2/5 | 0,4 | 40 % |
| 7/4 | 1,75 | 175 % |
Von Prozent zur Dezimalzahl: Komma zwei Stellen nach links (0,3 % = 0,003). Promille (‰) ist pro Tausend: 1 ‰ = 0,1 %. ppm (parts per million) ist pro Million: 1 ppm = 1/10⁶ = 0,0001 %. Brüche → Ausführlich in: Bruchrechnung
Bei Zinsen heißen die Größen anders: Kapital K = Grundwert, Zinsen Z = Prozentwert, Zinssatz = Prozentsatz. 8000 € bei 3 % bringen 240 € im Jahr.
Zinseszins ist exponentielles Wachstum, das Kapital wächst jedes Jahr um den Faktor: 2000 € bei 3 % ergeben nach 2 Jahren 2000 · 1,03² = 2121,80 €. → Ausführlich in: e-Funktion
Beschriftbare Abbildung
Deine AufgabeWie viel Gramm entspricht ein Kästchen der Hundertertafel, und wie schwer wären 10 % des Kuchens?
Tippe auf eine Beschriftung in der Abbildung, um ihre Erklärung zu lesen.
Schrittfolge
Deine AufgabeWarum sind 10 % → 20 % zwar 10 Prozentpunkte, aber 100 % mehr? Und warum endet „+10 %, dann −10 %“ bei 99 statt bei 100?
Schritt 1 von 2
