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Mathematik · Funktionen
Ableitung als Steigung der Tangente, die Ableitungsregeln einschließlich Ketten- und Quotientenregel sowie die Suche nach Hoch-, Tief- und Wendepunkten.
Die Ableitung f′(x) ist die Steigung des Graphen an der Stelle x, also die momentane Änderungsrate. Mit wenigen Regeln leitest du fast alles ab, was gefragt wird.
Die Durchschnittsgeschwindigkeit einer Fahrt ist leicht zu berechnen. Die Ableitung ist das, was der Tacho in genau diesem Moment anzeigt. Beim Weg s(t) gilt: v = ds/dt, und die Ableitung der Geschwindigkeit ist die Beschleunigung.
Eine Sekante schneidet den Graphen in zwei Punkten, ihre Steigung ist der Differenzenquotient. Rücken die Punkte zusammen, wird die Sekante zur Tangente.
f′(x) = lim (f(x+h) − f(x)) / h für h → 0Differentialquotient: Grenzwert der Sekantensteigungen
Geometrisch entspricht die Ableitung der Steigung der Tangente an einem Punkt des Graphen.
Interaktive Darstellung
Deine AufgabeVerschiebe den Berührpunkt x₀ und verkleinere h: Vergleiche Sekanten- und Tangentensteigung mit f′(x₀) = 2·x₀. Erkläre, warum die Tangente am Scheitel waagerecht ist.
Eine Funktion ist nur dort differenzierbar, wo sie stetig ist, du den Graphen also ohne Absetzen zeichnen kannst. Auch ein Knick wie bei |x| an der Stelle 0 hat keine Ableitung.
| Regel | Funktion | Ableitung |
|---|---|---|
| Potenzregel | xⁿ | n · xⁿ⁻¹ |
| Konstante | c | 0 |
| Faktorregel | c · g(x) | c · g′(x) |
| Summenregel | g(x) + h(x) | g′(x) + h′(x) |
Beispiel: f(x) = 5x³ − 4x + 7 → f′(x) = 15x² − 4. Wurzeln und Brüche schreibst du als Potenz: 1/x = x⁻¹ → −x⁻² = −1/x² und √x = x1/2 → 1/(2√x).
| Funktion | Ableitung |
|---|---|
| eˣ | eˣ |
| ln x | 1/x |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| Regel | f(x) | f′(x) |
|---|---|---|
| Produkt | g · h | g′ · h + g · h′ |
| Quotient | g / h | (g′ · h − g · h′) / h² |
| Kette | g(h(x)) | g′(h(x)) · h′(x) |
Bei der Kettenregel leitest du außen ab und multiplizierst mit der Ableitung des Inneren. Beispiele:
Die zweite und dritte Ableitung bildest du, indem du die Ableitung erneut ableitest. Ein Polynom n-ten Grades hat höchstens n − 2 Wendestellen, denn f″ hat nur den Grad n − 2. So findest du die Punkte:
Ist f″ = 0 (bzw. f‴ = 0), entscheidet der Vorzeichenwechsel von f′ (bzw. f″): x⁴ hat bei 0 trotz f″(0) = 0 einen Tiefpunkt. Am Wendepunkt wechselt der Graph zwischen Links- und Rechtskrümmung.
Beispiel f(x) = x³ − 3x: f′ = 3x² − 3 = 0 gibt x = ±1, und f″ = 6x. Wegen f″(1) = 6 > 0 liegt bei (1 | −2) ein Tiefpunkt, wegen f″(−1) = −6 < 0 bei (−1 | 2) ein Hochpunkt. Aus f″ = 0 folgt x = 0, f‴ = 6 ≠ 0: Wendepunkt bei (0 | 0).
Die Tangente verläuft dort waagrecht, ihre Steigung ist 0.
Integrieren macht das Ableiten rückgängig: Eine Stammfunktion F hat die Ableitung F′ = f, und das bestimmte Integral von a bis b ist F(b) − F(a) (Hauptsatz). → Ausführlich in: Integral
