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Die e-Funktion beschreibt Prozesse, bei denen die zeitliche Änderung einer Größe proportional zu ihrem aktuellen Bestand ist, was sie zum wichtigsten Werkzeug für die Modellierung von biologischem Wachstum und radioaktivem Zerfall macht.
Die e-Funktion (Exponentialfunktion zur Basis e) basiert auf der Eulerschen Zahl e ≈ 2,718. Ihr mathematisches Alleinstellungsmerkmal ist, dass ihre Steigung in jedem Punkt exakt ihrem Funktionswert entspricht; sie wächst also umso steiler, je größer ihr Wert bereits ist.
In der Medizin und Biologie modelliert sie Wachstumsprozesse (wie die ungestörte Bakterienvermehrung) und Zerfallsprozesse (wie die Elimination eines Medikaments aus dem Blut). Die allgemeine Funktionsgleichung lautet N(t) = N₀ × e⁽k × t).
Der Parameter N₀ repräsentiert den Anfangswert zum Zeitpunkt t=0. Die Wachstumskonstante k bestimmt die Dynamik: Ist k > 0, steigt der Graph steil an; ist k < 0, nähert sich der Graph asymptotisch der x-Achse an, was einen Zerfall beschreibt.
Um Berechnungen durchzuführen, benötigen wir den natürlichen Logarithmus (ln), welcher die Umkehrfunktion zur e-Funktion darstellt. Mit seiner Hilfe lässt sich eine Gleichung wie 2 = e⁽k × t) nach der Zeit t auflösen, da ln(e^x) = x gilt.
Ein zentraler Begriff beim Zerfall ist die Halbwertszeit (T_(1/2)). Dies ist die Zeitdauer, nach der nur noch die Hälfte der ursprünglichen Substanz vorhanden ist. Sie steht in festem Zusammenhang mit der Zerfallskonstante: T_(1/2) = (ln(2))/(|k|).
Im Vergleich zu Potenzfunktionen (z. B. f(x) = x²), bei denen die Basis variabel ist, steht bei der e-Funktion die Variable im Exponenten. Dies führt dazu, dass exponentielles Wachstum langfristig jedes Potenzwachstum an Geschwindigkeit übertrifft.
Ein praktisches Fallbeispiel: Sinkt die Konzentration eines Medikaments mit k = -0,1 pro Stunde, so kann man mittels ln berechnen, wann nur noch 10 % der Dosis vorhanden sind, indem man 0,1 = 1 × e⁽-0,1 × t) nach t auflöst.
