Essenzielle Cookies sind nötig. Analyse und Werbemessung nur mit deiner Zustimmung.
Mathematik · Funktionen
Die Exponentialfunktion f(x) = b·aˣ und die e-Funktion: Eigenschaften, Parameter aus dem Graphen, Wachstum und Zerfall mit Halbwertszeit und Verdopplungszeit, Zeiten mit ln berechnen.
Bei einer Exponentialfunktion steht x im Exponenten: Pro Schritt wird mit demselben Faktor multipliziert. Die e-Funktion hat die Basis e ≈ 2,718.
Es gilt a > 0, a ≠ 1 und b > 0. b ist der Startwert bei x = 0, a der Faktor pro Schritt (a > 1 Wachstum, a < 1 Zerfall). Für f(x) = 5·2ˣ ergeben x = 0, 1, 2, 3 die Werte 5, 10, 20, 40.
| a > 1 | 0 < a < 1 | |
|---|---|---|
| Verlauf | streng monoton steigend | streng monoton fallend |
| x → +∞ | wächst über alle Grenzen | nähert sich 0 |
Für jede Exponentialfunktion gilt: keine Nullstelle, alle Werte positiv, die x-Achse ist Asymptote, der Graph geht durch (0|b). Die Graphen von aˣ und (1/a)ˣ liegen spiegelbildlich zur y-Achse.
Aus einem Graphen liest du b am Schnittpunkt mit der y-Achse ab, dann ist a = f(1)/b. Geht der Graph durch (0|4) und (1|2), ist b = 4 und a = 0,5, also f(x) = 4 · 0,5ˣ.
Die Eulersche Zahl e ≈ 2,718 hat eine Besonderheit: Die Steigung von eˣ ist an jeder Stelle gleich dem Funktionswert. Jede Exponentialfunktion lässt sich mit Basis e schreiben: aˣ = ek·x mit k = ln(a), etwa 2ˣ = e0,693·x. → Ausführlich in: Differential
Der natürliche Logarithmus ln ist die Umkehrfunktion von eˣ: ln(eˣ) = x. Seine Rechenregeln stehen in der Lektion Logarithmus. → Ausführlich in: Logarithmus
N(t) = N₀ · ek·tN₀ Anfangswert bei t = 0, k Wachstums- bzw. Zerfallskonstante
Bei k > 0 wächst der Bestand, bei k < 0 zerfällt er und nähert sich asymptotisch 0. Manche Aufgaben schreiben e−k·t mit positivem k: derselbe Zerfall. Pro gleichem Zeitschritt ändert sich der Bestand um denselben Prozentsatz.
Die Halbwertszeit T½ ist die Zeit, nach der nur noch die Hälfte der ursprünglichen Substanz vorhanden ist. Beim Wachstum entspricht ihr die Verdopplungszeit.
Interaktive Darstellung
Deine AufgabeStelle k negativ ein und lies ab, wann die Kurve die Linie N₀/2 schneidet (Halbwertszeit T½). Wähle dann k > 0 und einen kleinen Anfangswert N₀: Nach welcher Zeit hat sich der Wert verdoppelt?
T½ = ln(2) / |k|Verdopplungszeit T₂ = ln(2) / k, mit ln 2 ≈ 0,693
Ohne ln rechnest du mit der Halbwertszeit direkt: N(t) = N₀ · (1/2)^(t/T½), beim Wachstum N₀ · 2t/T₂. Ein Wirkstoff (80 mg) mit T½ = 4 h: Nach 12 h sind das 3 Halbwertszeiten, also 80 · (1/2)³ = 10 mg. Die Physik dahinter: → Ausführlich in: Aktivität
Ein Wirkstoff fällt mit k = −0,1 pro Stunde. Wann ist nur noch 10 % übrig?
Probe: T½ = 0,693/0,1 ≈ 6,9 h, und 23 h sind etwa 3,3 Halbwertszeiten. (1/2)^3,3 ≈ 0,1 stimmt.
Kennst du k nicht, bekommst du es aus zwei Messwerten: k = ln(N(t)/N₀) / t. Ein Tumor wächst von 1 mm³ auf 8 mm³ in 10 Tagen: k = ln(8)/10 ≈ 0,21 pro Tag.
Langfristig überholt exponentielles Wachstum jedes Potenzwachstum, egal wie groß der Exponent n ist. → Ausführlich in: Potenzfunktion
