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Mathematik · Funktionen
Die Geradenfunktion f(x) = k·x + d: Steigung und Achsenabschnitt, Gleichung aus zwei Punkten, parallele Geraden, Nullstelle und der Steigungswinkel mit k = tan(α).
Eine Gerade ist f(x) = k·x + d. k sagt, wie steil sie ist, d, wo sie die y-Achse schneidet.
d ist der y-Achsenabschnitt (Ordinatenabschnitt): f(0) = d. Die Gerade schneidet die y-Achse in (0|d). Bei d = 0 geht sie durch den Ursprung und heißt homogen.
Die Steigung k: k > 0 steigt, k = 0 ist waagrecht, k < 0 fällt. Du berechnest sie am Steigungsdreieck aus zwei Punkten:
k = Δy / Δx = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)Höhe durch Breite des Steigungsdreiecks
Δy ist die Höhe, Δx die Breite des Dreiecks. Daran siehst du, wie stark sich der Funktionswert y verändert, wenn x um 1 wächst. Die Reihenfolge der Punkte ist egal, solange sie in Zähler und Nenner gleich ist.
Interaktive Darstellung
Deine AufgabeVerändere die Steigung k und beobachte, wie sich die Gerade und das Steigungsdreieck verändern. Was passiert bei k = 0?
Gesucht ist die Gerade durch P(2|1) und Q(6|9).
Ergebnis: f(x) = 2x − 3. Die Nullstelle aus 0 = 2x − 3 ist x = 1,5 (allgemein x = −d/k).
Achsenabschnitte sind Punkte: x-Achse bei 4, y-Achse bei −2 gibt (4|0) und (0|−2), also d = −2 und k = 2/4 = 0,5.
Parallele Geraden haben dasselbe k und nur ein anderes d: y = 2x + 1 und y = 2x − 3 liegen 4 Einheiten übereinander.
Der Steigungswinkel α liegt zwischen der positiven x-Achse und der Geraden, gegen den Uhrzeigersinn gemessen. Es gilt k = tan(α). Bei k < 0 ist α stumpf: α = 180° − arctan(|k|). → Ausführlich in: Winkelfunktionen
| k | Steigungswinkel α |
|---|---|
| 0 | 0° |
| 1 | 45° |
| 2 | ≈ 63,4° |
| −1 | 135° |
| −3 | ≈ 108,4° |
