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Mathematik · Funktionen
Stammfunktion und Integrationskonstante, die Grundintegrale, das bestimmte Integral mit dem Hauptsatz an gerechneten Beispielen und Anwendungen wie Zuflussmenge, AUC und Rotationskörper.
Integrieren ist Ableiten rückwärts. Das bestimmte Integral summiert eine Änderungsrate über ein Intervall: F(b) − F(a).
Eine Funktion F ist eine Stammfunktion von f, wenn F′(x) = f(x) gilt. Beim Ableiten fallen Konstanten weg, deshalb gehört zu f nicht eine, sondern eine ganze Schar von Stammfunktionen. Die Ableitungsregeln → Ausführlich in: Differential
Das unbestimmte Integral fügt darum immer eine Integrationskonstante +C hinzu. Für f(x) = x² sind x³/3 + C, also etwa x³/3 und x³/3 + 5, alle Stammfunktionen.
Interaktive Darstellung
Deine AufgabeVerändere C und vergleiche die ausgewählte Stammfunktion mit den festen Referenzkurven. Prüfe, dass jede Kurve dieselbe Ableitung f(x) = x² besitzt, und erkläre das „+C“ beim unbestimmten Integral.
Hochzahl um 1 erhöhen, durch die neue Hochzahl teilen: xⁿ wird zu xⁿ⁺¹/(n+1). Konstante Faktoren bleiben stehen, Summen integrierst du gliedweise.
| f(x) | Stammfunktion F(x) |
|---|---|
| k | k · x + C |
| xⁿ (n ≠ −1) | xⁿ⁺¹ / (n+1) + C |
| eˣ | eˣ + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
Für 1/x lautet die Stammfunktion ln|x| + C. Beispiel: ∫ (6x⁵ − 3x² + 1) dx = x⁶ − x³ + x + C. Brüche und Wurzeln schreibst du als Potenz: 1/x² = x⁻² → −1/x und √x = x1/2 → (2/3) · x3/2.
Das bestimmte Integral ist ein Zahlenwert zu den Grenzen a und b. Es summiert vorzeichenbehaftete Beiträge: Für a < b zählen Teile oberhalb der x-Achse positiv, Teile darunter negativ. Der geometrische Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse ist dagegen immer nichtnegativ.
Interaktive Darstellung
Deine AufgabeVerändere beide Grenzen. Sage für a = 2 und b = 0,5 die Vorzeichen des Integrals und des Flächeninhalts voraus. Vergleiche die Schattierung und beide Werte mit vertauschten sowie gleichen Grenzen.
Für den Flächeninhalt addierst du die Beträge der Teilflächen. Vertauschst du a und b, wechselt das Integral sein Vorzeichen, bei a = b ist es null.
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)Hauptsatz: F an der oberen Grenze minus F an der unteren
Beispiele:
Bei einem Wasserbecken sei f(t) die Netto-Zuflussrate in Litern pro Sekunde. Das Integral über einen Zeitraum in Sekunden ist die Änderung des Volumens in Litern. Das Endvolumen erhältst du erst mit dem Anfangsvolumen. Bei konstanter Rate c über die Dauer T ist es c · T: 5 mg/h über 4 h sind 20 mg.
Die Fläche unter einer Konzentrations-Zeit-Kurve heißt AUC (mg·h/L) und misst die Gesamtexposition mit einem Arzneistoff. Dreht sich der Graph von f um die x-Achse, hat jede Kreisscheibe die Fläche π · f(x)². Das Volumen ist V = π · ∫ₐᵇ f(x)² dx.
