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Das Integral dient der Berechnung von Flächeninhalten unter Funktionskurven und stellt die Umkehroperation zur Differentiation dar.
In der Mathematik ist das Integral das Gegenstück zur Ableitung. Während die Ableitung die Steigung (Änderungsrate) einer Funktion an einem Punkt misst, berechnet das Integral die Akkumulation von Werten, was geometrisch der Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse entspricht.
Man unterscheidet grundlegend zwischen dem unbestimmten Integral und dem bestimmten Integral. Das unbestimmte Integral liefert eine ganze Familie von Funktionen, die sogenannten Stammfunktionen, während das bestimmte Integral einen konkreten Zahlenwert für einen festen Bereich (Intervall) liefert. Die Integrationsgrenzen a und b legen dabei das Intervall auf der x-Achse fest; der Flächeninhalt zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse ist positiv oberhalb der x-Achse und negativ unterhalb. Beim bestimmten Integral entfällt die Integrationskonstante C, da sie sich bei der Subtraktion F(b) - F(a) aufhebt.
Eine Funktion F(x) wird als Stammfunktion von f(x) bezeichnet, wenn ihre Ableitung genau f(x) ergibt (F'(x) = f(x)). Da beim Ableiten Konstanten wegfallen, fügt man beim unbestimmten Integrieren immer eine Integrationskonstante +C hinzu, um alle möglichen Stammfunktionen zu berücksichtigen.
Die wichtigste Rechenregel für den MedAT ist die Potenzregel der Integration. Sie besagt, dass für eine Funktion f(x) = x^n die Stammfunktion F(x) = 1/(n+1) * x^(n+1) + C lautet (wobei n ≠ -1 sein muss). Man erhöht also den Exponenten um eins und dividiert durch den neuen Exponenten. Ein gängiger Merksatz lautet: "Hochzahl um 1 erhöhen und durch die erhöhte Hochzahl dividieren."
Neben der Potenzregel gibt es einige weitere Grundintegrale, die du für den MedAT beherrschen solltest: ∫ 0 dx = C, ∫ k dx = k·x + C (k konstant), ∫ 1/x dx = ln|x| + C, ∫ e^x dx = e^x + C, ∫ sin x dx = -cos x + C, ∫ cos x dx = sin x + C.
Zwei wichtige Rechenregeln für Integrale sind die Faktorregel und die Summenregel. Die Faktorregel besagt, dass ein konstanter Faktor vor das Integral gezogen werden kann: ∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx. Die Summenregel erlaubt es, das Integral einer Summe (oder Differenz) als Summe der Einzelintegrale zu berechnen: ∫ (f(x) ± g(x)) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx.
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verknüpft beide Konzepte: Um ein bestimmtes Integral in den Grenzen von a bis b zu berechnen, bildet man die Differenz der Stammfunktionswerte an den Grenzen: ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a).
Stellen wir uns zur Veranschaulichung einen Wasserfluss vor: Wenn f(x) die Zuflussrate (Liter pro Sekunde) angibt, dann gibt das Integral über einen Zeitraum an, wie viel Liter Wasser sich insgesamt im Becken angesammelt haben. In der Medizin wird dies beispielsweise genutzt, um das Herzzeitvolumen oder die Gesamtdosis eines Medikaments im Blut über die Zeit zu bestimmen.
