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Mathematik · Funktionen
Der Logarithmus als Umkehrung der Potenz: lg und ln, Spezialwerte, Rechenregeln, Exponentialgleichungen lösen, Basiswechsel, der Graph von log_a(x) und der pH-Wert als Beispiel.
Der Logarithmus sucht den Exponenten: log_a(x) = y heißt aʸ = x. Er macht aus Produkten Summen und aus Potenzen Faktoren.
Potenzieren führt von Basis und Exponent zum Ergebnis (2³ = 8). Der Logarithmus ist der Rückweg: log₂(8) = 3. Die Zahl, aus der du ihn ziehst, heißt Numerus.
Der Numerus muss positiv sein: aʸ ist für a > 0 nie 0 oder negativ. Zwei Basen sind Standard:
| Schreibweise | Basis |
|---|---|
| dekadischer Logarithmus lg | 10 |
| natürlicher Logarithmus ln | e ≈ 2,718 |
| x | lg(x) |
|---|---|
| 1000 | 3 |
| 2 |
| 10 | 1 |
| 1 | 0 |
| 0,1 | −1 |
| 0,01 | −2 |
| 0,001 | −3 |
log_a(1) = 0, denn a⁰ = 1. log_a(a) = 1, ln(e) = 1. Und log_a(aˣ) = x sowie alog_a x = x.
| Regel | Formel |
|---|---|
| Produkt | log(u·v) = log u + log v |
| Quotient | log(u/v) = log u − log v |
| Potenz | log(uᵏ) = k·log u |
Die Regeln gelten für jede Basis, solange u und v positiv sind. Mit lg 2 ≈ 0,3 rechnest du: lg 5 = lg(10/2) = 1 − 0,3 = 0,7.
Steht die Unbekannte im Exponenten, logarithmierst du beide Seiten und holst sie mit der Potenzregel nach unten: 32x = 7 → 2x · ln 3 = ln 7 → x = ln 7 / (2 · ln 3) ≈ 0,89.
log_a(x) = ln(x) / ln(a)Basiswechsel: jeder Logarithmus über ln
Grafisch ist die Logarithmusfunktion die Spiegelung der Exponentialfunktion an der ersten Mediane (der Geraden y = x). Aus (3|8) auf 2ˣ wird (8|3) auf log₂(x).
Interaktive Darstellung
Deine AufgabeBetrachte 2x, log₂(x) und die Mediane y = x und verschiebe den Vergleichspunkt x₀. Erkläre, warum P′ das Spiegelbild von P an y = x ist und warum log₂(x) für große x kaum noch wächst.
Für jede Basis gilt: definiert nur für x > 0, Nullstelle bei x = 1, die y-Achse ist Asymptote, der Wertebereich ist ganz ℝ. Sie steigt für a > 1 (immer langsamer) und fällt für 0 < a < 1, z. B. log_0,5(2) = −1. Bei ln(Term) muss der Term positiv sein: Für ln(x² − 4x + 3) heißt das x < 1 oder x > 3.
Der pH-Wert ist als pH = −lg[H₃O⁺] definiert. Bei [H₃O⁺] = 2·10⁻⁴ mol/L: pH = −(lg 2 + lg 10⁻⁴) = −(0,3 − 4) = 3,7. → Ausführlich in: pH-Wert
