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Mathematik · Funktionen
Potenzfunktionen f(x) = a·xⁿ: die vier Grundfälle mit Symmetrie, Polstelle und Verhalten für große x, Wurzeln und Potenzregeln, Skalierung, Polynome und die quadratische Funktion.
Bei f(x) = a·xⁿ bestimmt der Exponent n die Form. Du unterscheidest nur: n gerade oder ungerade, positiv oder negativ.
In f(x) = a·xⁿ ist a der Koeffizient und n der Exponent. Wegen f(1) = a liest du a am Funktionswert bei x = 1 ab.
| Exponent n | Symmetrie | Form |
|---|---|---|
| gerade, positiv (2, 4 …) | zur y-Achse: f(−x) = f(x) | Parabel, Scheitel im Ursprung |
| ungerade, positiv (3, 5 …) | zum Ursprung: f(−x) = −f(x) | s-förmig, Sattelpunkt im Ursprung |
| gerade, negativ (−2, −4 …) | zur y-Achse | Hyperbel, Polstelle bei x = 0 |
| ungerade, negativ (−1, −3 …) | zum Ursprung |
Bei positivem n ist der Ursprung die einzige Nullstelle. Bei negativem Exponenten gilt x⁻ᵐ = 1/xᵐ, darum darf x nie 0 sein: Dort sitzt die Polstelle. Der Graph nähert sich beiden Achsen (Asymptoten) und hat keine Nullstelle. Bei n = 0 ist f(x) = a eine waagrechte Gerade.
Hier gilt a > 0. Bei a < 0 drehen sich die Vorzeichen um.
| n | x → +∞ | x → −∞ |
|---|---|---|
| gerade, positiv | +∞ | +∞ |
| ungerade, positiv | +∞ | −∞ |
| negativ | nähert sich 0 | nähert sich 0 |
Ein Bruch im Exponenten ist eine Wurzel: x1/n = ⁿ√x. Als Potenz geschrieben ist sie nur für x ≥ 0 definiert und nie negativ, auch x5/2 hat deshalb keine Symmetrie. Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion von x² (für x ≥ 0). Bei f(x) = √(x − 4) gilt x ≥ 4 und f(x) ≥ 0.
| Regel | Beispiel |
|---|---|
| aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | x² · x³ = x⁵ |
| (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ | (x²)³ = x⁶ |
| (a·b)ʳ = aʳ · bʳ | (2x)³ = 8x³ |
| a⁻ⁿ = 1/aⁿ | 2⁻³ = 1/8 |
| am/n = ⁿ√(aᵐ) | 82/3 = 4 |
Addieren und Subtrahieren geht nur bei gleicher Basis und gleichem Exponenten: 3x² + 2x² = 5x², aber x² + x³ bleibt stehen. Außerdem gilt a⁰ = 1 und (ᵐ√a)ᵐ = a.
Verdoppelst du x in y = a·xⁿ, wird y mit 2ⁿ multipliziert. Bei y = 2·x³ gibt x = 3 den Wert 54 und x = 6 den Wert 432, und 432/54 = 8 = 2³. Beim Kleiber-Gesetz steigt der Grundumsatz mit der Körpermasse hoch 0,75: Doppelte Masse bringt nur 20,75 ≈ 1,68-fachen Umsatz.
Ein Polynom ist eine Summe von Potenzfunktionen: f(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀. Der höchste Exponent heißt Grad. Für große |x| entscheidet allein dieser Term, Nullstellen gibt es höchstens so viele wie der Grad.
Die quadratische Funktion f(x) = ax² + bx + c hat Grad 2. Für a < 0 öffnet die Parabel nach unten, bei b = 0 ist die y-Achse die Symmetrieachse, sonst liegt der Scheitel bei x = −b/(2a). Bei x² − 4x + 3 ist das x = 2 mit f(2) = −1, die Nullstellen sind 1 und 3. → Ausführlich in: Gleichungen und Ungleichungen
Interaktive Darstellung
Deine AufgabeVerändere n und ordne die Graphform zu: gerade n → achsensymmetrische Parabel, ungerades n → punktsymmetrisch, negatives n → Hyperbel mit Polstelle bei x = 0. Prüfe deine Vorhersage an f(2) und f(−2).
