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Mathematik · Funktionen
Einheitskreis, Spezialwerte, Graphen und Periode von Sinus, Cosinus und Tangens, Dreiecksberechnungen und die allgemeine Sinusfunktion mit Amplitude und Phasenverschiebung.
Auf dem Einheitskreis ist der Cosinus die x-Koordinate und der Sinus die y-Koordinate eines Punkts. Der Tangens ist ihr Quotient. Werte, Vorzeichen und Graph liest du am Kreis ab.
Der Einheitskreis hat den Radius r = 1 und den Mittelpunkt (0|0). Ein Punkt P auf dem Rand gehört zum Winkel α, gemessen von der positiven x-Achse gegen den Uhrzeigersinn. Eine Drehung im Uhrzeigersinn ergibt einen negativen Winkel.
Für P gilt P = (cos α | sin α): Der Cosinus ist der Schatten des Punkts auf der x-Achse, der Sinus sein Schatten auf der y-Achse. Weil r = 1 ist, liegen beide immer zwischen −1 und 1.
sin²(α) + cos²(α) = 1Pythagoras im Dreieck mit Hypotenuse 1
| Funktion | Verhältnis | Am Einheitskreis |
|---|---|---|
| sin α | Gegenkathete / Hypotenuse | y-Wert |
| cos α | Ankathete / Hypotenuse | x-Wert |
| tan α | Gegenkathete / Ankathete | sin α / cos α |
Beispiele: Hypotenuse 10 cm, α = 30° → Gegenkathete = 10 cm · sin 30° = 5 cm. Gegeben sin β = 0,6 und Ankathete 8 cm → cos β = √(1 − 0,6²) = 0,8 und Hypotenuse = 8 cm : 0,8 = 10 cm.
180° = π rad, also x [rad] = α · π / 180°. → Ausführlich in: Winkel
Die Werte bei 30°, 45° und 60° musst du kennen, den Rest liest du am Kreis ab:
| Winkel | sin | cos |
|---|---|---|
| 0° (0) | 0 | 1 |
| 30° (π/6) | 1/2 | √3/2 |
| 45° (π/4) | √2/2 | √2/2 |
| 60° (π/3) | √3/2 | 1/2 |
| 90° (π/2) | 1 | 0 |
| 180° (π) | 0 | −1 |
| 270° (3π/2) | −1 | 0 |
| 360° (2π) | 0 | 1 |
Sinus und Cosinus tauschen ihre Werte, wenn der Winkel zu 90° ergänzt wird: sin α = cos(90° − α). Den Tangens bildest du als sin/cos: tan 45° = 1, tan 30° = 1/√3 ≈ 0,58, tan 60° = √3 ≈ 1,73.
Das Vorzeichen folgt aus x = cos und y = sin:
| Eigenschaft in [0, 2π] | Sinus | Cosinus |
|---|---|---|
| Nullstellen | 0, π, 2π | π/2, 3π/2 |
| Hochpunkt (y = 1) bei x = | π/2 | 0 und 2π |
| Tiefpunkt (y = −1) bei x = | 3π/2 | π |
| Symmetrie | zum Ursprung (ungerade) | zur y-Achse (gerade) |
Der Sinus steigt von 0° bis 90°, fällt bis 270° und steigt bis 360° wieder. Der Cosinus fällt von 0° bis 180° von 1 auf −1 und steigt dann auf 1. Er ist der um 90° (π/2) nach links verschobene Sinus: cos x = sin(x + π/2). Die Steigung des Sinus ist der Cosinus.
Sinus und Cosinus haben die Periode 2π (360°), der Tangens die Periode π (180°); der Kotangens cot = cos/sin ebenso π. Der Tangens ist ungerade, hat Nullstellen bei kπ und senkrechte Asymptoten bei π/2 + kπ.
Der Tangens beschreibt die Steigung k einer Geraden: Schließt sie mit der x-Achse den Winkel α ein, gilt k = tan α, egal wo sie die y-Achse schneidet. Unter 45° ist k = 1. → Ausführlich in: Geradenfunktion
f(x) = a · sin(b · x + c) streckt, staucht und verschiebt die Grundkurve:
| Parameter | Wirkung | Ablesen |
|---|---|---|
| a | Amplitude | größte Auslenkung (Betrag von a) |
| b | Kreisfrequenz | Periode 2π/b (für b > 0) |
| c | Phasenverschiebung | um −c/b entlang der x-Achse |
Beispiel f(x) = 2 · sin(3x − π): Amplitude 2, Periode 2π/3, Wertebereich [−2, 2]. Die Verschiebung folgt aus 3x − π = 0, also x = π/3 nach rechts. Verdoppelst du b, halbiert sich die Periode. Die Kurve ist ungerade, nicht achsensymmetrisch. → Ausführlich in: Harmonische Schwingungen
Arkussinus, Arkuscosinus und Arkustangens liefern zu einem Wert den passenden Winkel: arcsin(1/2) = 30°, arccos(0) = 90°, arctan(1) = 45°.
Interaktive Darstellung
Deine AufgabeStelle k nacheinander auf tan(30°) ≈ 0,6, tan(45°) = 1 und tan(60°) ≈ 1,7 und lies den Steigungswinkel am Steigungsdreieck ab. Prüfe, dass k = tan(α) gilt.
Interaktive Darstellung
Deine AufgabeVerändere a, b und c in f(x) = a·sin(b·x + c) und beschreibe, wie sich Auslenkung, Periodendauer und Verschiebung ändern. Prüfe am Plot: Doppeltes b halbiert die Periode.
