Essenzielle Cookies sind nötig. Analyse und Werbemessung nur mit deiner Zustimmung.
Mathematik · Geometrie
Volumen, Oberfläche und Skalierung von Prisma, Quader, Würfel, Zylinder, Pyramide, Kegel, Tetraeder und Kugel.
Fast jedes Volumen ist Grundfläche mal Höhe (V = G · h), bei Pyramide und Kegel ein Drittel davon. Die Oberfläche setzt sich aus Flächen zusammen, die du schon kennst.
Die Grundfläche G holst du dir aus den ebenen Figuren. → Ausführlich in: Geometrie 2D
Ein Prisma hat zwei parallele, deckungsgleiche Vielecke als Grund- und Deckfläche. Die Seitenflächen bilden zusammen die Mantelfläche M.
| Seitenkanten |
|---|
| Mantel |
|---|
| gerade | senkrecht auf G | Rechtecke |
| schief | schräg | Parallelogramme |
V = G · hh: senkrechter Abstand von Grund- und Deckfläche
O = 2 · G + Mgerades Prisma: M = U · h, U Umfang der Grundfläche
Stell dir das Volumen als Stapel gleich dicker Schichten in Form der Grundfläche vor. Beispiel: Dreiecksprisma mit Katheten 3 cm und 4 cm (Hypotenuse 5 cm), h = 5 cm. G = 3 · 4 / 2 = 6 cm², V = 6 · 5 = 30 cm³ (fünf Schichten). M = (3 + 4 + 5) · 5 = 60 cm², O = 2 · 6 + 60 = 72 cm².
Beim schiefen Prisma zählt für V die senkrechte Höhe, nicht die schräge Kante. Ein n-seitiges Prisma hat 2n Ecken, 3n Kanten und n + 2 Flächen.
Der Quader ist ein Prisma mit rechteckiger Grundfläche: 8 Ecken, 12 Kanten (je vier gleich lang), 6 Rechtecke. Beim Würfel (Hexaeder) sind alle Kanten gleich lang.
| Größe | Quader (a, b, c) | Würfel (a) |
|---|---|---|
| Volumen | a · b · c | a³ |
| Oberfläche | 2 · (ab + bc + ac) | 6a² |
| Raumdiagonale | √(a² + b² + c²) | a√3 |
| Kantensumme | 4 · (a + b + c) | 12a |
Beispiel 4 × 2 × 3 cm: V = 24 cm³, O = 2 · (8 + 6 + 12) = 52 cm². Die Raumdiagonale läuft von Ecke zu Ecke durch den Körper: Bei 2 × 3 × 6 m ist d = √(4 + 9 + 36) = 7 m. Die Flächendiagonale des Würfels ist a√2.
Der Zylinder ist ein rundes Prisma mit der Grundfläche G = πr². Rollst du den Mantel ab, entsteht ein Rechteck mit der Länge 2πr (Kreisumfang) und der Breite h.
V = πr² · hO = 2πr² + 2πrh = 2πr · (r + h)
Beispiel r = 3 cm, h = 5 cm: V = π · 9 · 5 = 45π ≈ 141,4 cm³ und O = 2π · 3 · (3 + 5) = 48π ≈ 150,8 cm².
Pyramide und Kegel laufen von der Grundfläche in eine Spitze zusammen. Bei gleicher Grundfläche und Höhe haben sie genau ein Drittel des Volumens von Prisma bzw. Zylinder. Füllt man eine Pyramide dreimal mit Wasser und gießt es in ein Prisma mit gleicher Grundfläche und Höhe, ist es genau voll.
Schrittfolge
Deine AufgabePrüfe bei Prisma, Quader und Zylinder V = G · h: Wie groß ist die Grundfläche und wie oft wird sie gestapelt? Welche Flächen gehören zur Oberfläche? Wie oft musst du die Pyramide umfüllen, bis der Quader voll ist?
Schritt 1 von 4
V = ⅓ · G · hKegel: V = ⅓ · πr² · h, Mantel M = πrs mit s = √(r² + h²)
Bei der geraden Pyramide liegt die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche. Die Körperhöhe h geht von der Spitze senkrecht zur Grundfläche, die Seitenhöhe hs ist die Höhe eines Seitendreiecks. Der Mantel besteht aus allen Seitendreiecken.
Quadratische Pyramide, Grundkante a: hs = √(h² + (a/2)²) und M = 4 · (a · hs / 2) = 2a · hs. Beispiel a = 10 cm, h = 12 cm: hs = √(144 + 25) = 13 cm, M = 2 · 10 · 13 = 260 cm², O = 100 + 260 = 360 cm², V = 100 · 12 / 3 = 400 cm³. Bei der regelmäßigen Dreieckspyramide mit Grundkante a ist V = a² · h · √3 / 12.
Das regelmäßige Tetraeder besteht aus vier gleichseitigen Dreiecken: 4 Ecken, 6 Kanten, 4 Flächen. Mit der Kante a gilt O = a²√3, V = a³√2 / 12 und h = a√6 / 3.
Die fünf Platonischen Körper bestehen aus gleichen regelmäßigen Vielecken: Tetraeder (4 Flächen), Hexaeder (6), Oktaeder (8), Dodekaeder (12), Ikosaeder (20).
Die Kugel hat keine Ecken und Kanten. Jeder Punkt der Kugelfläche hat den Abstand r vom Mittelpunkt.
V = 4/3 · π · r³O = 4πr²
Beispiel d = 6 cm, also r = 3 cm: O = 4π · 9 = 36π ≈ 113 cm², V = 4/3 · π · 27 = 36π ≈ 113 cm³. Die Halbkugel hat V = ⅔ · πr³ und O = 2πr² + πr² = 3πr² (Wölbung plus Grundkreis).
Bei gegebenem Volumen hat die Kugel die kleinste Oberfläche aller Körper. Ein Zylinder mit Radius r und Höhe 2r um die Kugel hat V = 2πr³, das 1,5-fache des Kugelvolumens 4/3 · πr³.
Wird jede Länge eines Körpers mit dem Faktor k vergrößert, wachsen Flächen mit k² und Volumina mit k³.
Beschriftbare Abbildung
Deine AufgabeUm welchen Faktor wachsen Fläche und Volumen, wenn sich die Kante nicht verdoppelt, sondern verdreifacht?
Tippe auf eine Beschriftung in der Abbildung, um ihre Erklärung zu lesen.
r steht im Quadrat: × ¼. Die Höhe: × 4. V bleibt gleich.
Rechne vor dem Einsetzen alle Längen in dieselbe Einheit. Es gilt 1 cm³ = 1 mL und 1 dm³ = 1 L = 1000 cm³. → Ausführlich in: Umrechnungen
