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Die Stereometrie befasst sich mit der Berechnung von Volumen und Oberflächen dreidimensionaler Körper wie Prismen, Zylindern, Pyramiden und Kugeln. Für spezielle Pyramiden wie die gerade quadratische und regelmäßige Dreieckspyramide existieren Formeln für Kantenlänge und Oberfläche, die auf der Höhe und Grundseite basieren. Für das Verständnis der Grundflächen sind Kenntnisse über Dreiecke, ihre Klassifikation und Flächenformeln sowie der Satz des Pythagoras grundlegend.
Die Stereometrie (Raumgeometrie) erweitert die Planimetrie um die dritte Dimension. Während wir in der Ebene Flächeninhalte berechnen, bestimmen wir im Raum das Volumen (Rauminhalt V) und die Oberfläche (O). Das Volumen gibt an, wie viel Raum ein Körper einnimmt, während die Oberfläche die Summe aller Begrenzungsflächen darstellt.
Als Basis für viele Prismen dienen Dreiecke, weshalb deren Eigenschaften für die Stereometrie relevant sind. Ein Dreieck ist ein Polygon mit drei Ecken und drei Seiten. Die Summe seiner Innenwinkel beträgt stets 180°. Nach Winkeln unterscheidet man spitzwinklige (alle Winkel <90°), rechtwinklige (ein Winkel =90°) und stumpfwinklige Dreiecke (ein Winkel >90°). Im rechtwinkligen Dreieck heißt die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite Hypotenuse, die anderen beiden sind die Katheten. Hinsichtlich der Seitenlängen gibt es gleichseitige (alle Seiten gleich, alle Winkel 60°), gleichschenklige (zwei Seiten gleich) und ungleichseitige Dreiecke. Der Flächeninhalt eines beliebigen Dreiecks ist A = (Grundseite * zugehörige Höhe) / 2. Für ein rechtwinkliges Dreieck vereinfacht sich dies zu A = (a * b) / 2, wobei a und b die Katheten sind. Bei einem gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge a gilt A = (a² * √3) / 4 und die Höhe h = (a / 2) * √3. Der Satz des Pythagoras c² = a² + b² gilt ausschließlich in rechtwinkligen Dreiecken und erlaubt die Berechnung der dritten Seite aus zwei bekannten. Zusätzlich beschreiben der Höhensatz h² = p * q und die Kathetensätze a² = c * p und b² = c * q Beziehungen zwischen der Höhe auf der Hypotenuse und den Hypotenusenabschnitten p und q.
Ein Prisma ist ein Körper, bei dem die Grundfläche (G) und die Deckfläche identische, parallel zueinander liegende Polygone (Vielecke) sind. Die Verbindungslinien zwischen den Eckpunkten bilden die Mantelfläche (M). Man unterscheidet gerade Prismen, deren Mantelflächen Rechtecke sind, und schiefe Prismen mit parallelogrammförmigen Mantelflächen. Zudem können Prismen eine regelmäßige oder unregelmäßige Grundfläche besitzen. Das Volumen eines jeden Prismas berechnet sich nach der universellen Formel V = G × h, wobei h die Körperhöhe ist. Die gesamte Oberfläche ergibt sich aus der Summe von Grund-, Deck- und Mantelfläche: O = 2 × G + M.
Der Quader ist ein spezielles Prisma mit rechteckiger Grundfläche. Er wird von sechs Rechtecken begrenzt, wobei gegenüberliegende Flächen deckungsgleich (kongruent) sind. Der Quader besitzt 8 Ecken, die alle den gleichen Abstand zum Mittelpunkt des Körpers haben, und 12 Kanten, wovon je vier Kanten die gleiche Länge (Länge, Breite, Höhe) aufweisen. Sind alle Kanten gleich lang, spricht man von einem Würfel. Für einen Quader mit den Kantenlängen a, b, c gilt: V = a × b × c und O = 2 × (ab + bc + ac). Analog dazu ist der Zylinder ein 'rundes Prisma' mit einem Kreis als Grundfläche (G = r² × π), wobei im allgemeinen Sprachgebrauch stets von einem kreisförmigen Zylinder ausgegangen wird. Seine Mantelfläche (M) kann man sich als aufgerolltes Rechteck mit der Höhe h und dem Kreisumfang (2πr) als Länge vorstellen: M = 2πr × h. Das Volumen beträgt V = G × h = r² × π × h, und die gesamte Oberfläche setzt sich aus den beiden Kreisflächen und der Mantelfläche zusammen: O = 2πr² + 2πrh.
Spitzkörper wie die Pyramide und der Kegel laufen von einer Grundfläche aus in einer Spitze zusammen. Ein entscheidendes Prinzip der Stereometrie besagt, dass diese Körper bei gleicher Grundfläche und Höhe genau ein Drittel des Volumens des entsprechenden Prismas bzw. Zylinders einnehmen: V = (1)/(3) × G × h.
Eine Pyramide ist ein Polyeder mit einer ebenen Grundfläche, die ein beliebiges Vieleck sein kann. Die Ecken der Grundfläche sind durch Kanten mit einer gemeinsamen Spitze verbunden. Liegt die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche, spricht man von einer geraden Pyramide, andernfalls von einer schiefen Pyramide. Die Form der Grundfläche bestimmt den Namen der Pyramide (z. B. quadratische Pyramide, Dreieckspyramide).
Bei einer geraden quadratischen Pyramide ist die Grundfläche ein Quadrat der Seitenlänge a. Die Länge einer Seitenkante l von einer Ecke zur Spitze beträgt l = √(h² + a²/2). Die Oberfläche O setzt sich aus der Grundfläche a² und der Mantelfläche zusammen: O = a² + a × √(4h² + a²). Das Volumen ist V = (a² × h) / 3. Bei einer regelmäßigen Dreieckspyramide bildet ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge a die Grundfläche. Die Seitenkantenlänge ist l = √(h² + a²/3). Das Volumen berechnet sich mit V = (a² × h × √3) / 12.
Das Tetraeder ist eine spezielle Pyramide, die von vier (meist gleichseitigen) Dreiecken begrenzt wird. Es ist der einfachste der fünf Platonischen Körper. Da alle vier Flächen identisch sind, berechnet sich die Oberfläche einfach als das Vierfache einer Dreiecksfläche.
Die Kugel nimmt unter den Körpern eine Sonderstellung ein, da sie keine Ecken oder Kanten besitzt. Sie wird entweder als Kugelkörper (ausgefüllt) oder als Kugelfläche (Sphäre, nur die Hülle) verstanden. Die Kugelfläche ist die Menge aller Punkte mit dem Abstand r vom Mittelpunkt, der Kugelkörper die Menge aller Punkte mit Abstand ≤ r. Bemerkenswert ist, dass die Kugel bei vorgegebenem Volumen die kleinste Oberfläche aller Körper hat. Wird eine Kugel von einem Zylinder mit Radius r und Höhe 2r umschrieben, so hat dieser das 1,5-fache Volumen der Kugel. Die Formeln für die Kugel sind essenziell: Das Volumen beträgt V = (4)/(3) × π × r³ und die Oberfläche O = 4 × π × r².
In der medizinischen Praxis ist die Stereometrie beispielsweise bei der Berechnung von Organvolumina (z.B. Herz- oder Blasenvolumen via Ultraschall) oder bei der Dosierung von Flüssigkeiten in zylindrischen Spritzen von Bedeutung. Das Verständnis der Skalierung (verdoppelt sich der Radius einer Kugel, verachtfacht sich ihr Volumen) ist dabei ein häufiges MedAT-Thema.
