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Mathematik · Geometrie
Winkel messen und benennen, Winkelsummen, Winkelpaare an Parallelen, besondere Vierecke sowie Umfang und Fläche von Dreieck, Viereck und Kreis.
Drei Fakten lösen fast jede Winkelaufgabe: Nebenwinkel ergeben 180°, an Parallelen sind Stufen- und Wechselwinkel gleich, und die Winkel im Dreieck ergeben 180°.
| Name | Größe |
|---|---|
| 0° |
| spitzer Winkel | zwischen 0° und 90° |
| rechter Winkel | 90° |
| stumpfer Winkel | zwischen 90° und 180° |
| gestreckter Winkel | 180° |
| erhabener Winkel | zwischen 180° und 360° |
| Vollwinkel | 360° |
Ein Winkel entsteht, wenn sich ein Strahl um seinen Anfangspunkt dreht. Die Strahlen heißen Schenkel, ihr gemeinsamer Punkt Scheitelpunkt. Du schreibst α, β, γ oder ∠BAC (Scheitelpunkt A in der Mitte). Gegen den Uhrzeigersinn ist der Winkel positiv, im Uhrzeigersinn negativ: 270° entspricht −90°.
Ein Grad hat 60 Winkelminuten (′), eine Minute 60 Winkelsekunden (″): 12° 45′ 36″ = 12 + 45/60 + 36/3600 = 12 + 0,75 + 0,01 = 12,76°.
Im Bogenmaß ist der Winkel die Länge des Kreisbogens beim Radius 1: Der Vollwinkel hat 2π, der gestreckte Winkel π.
Bogenmaß = Grad · π / 180°120° → 120 · π / 180 = 2π/3 ≈ 2,09
Merk dir 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3 und 90° = π/2. Einheitskreis, sin und cos → Ausführlich in: Winkelfunktionen
Zwei sich schneidende Geraden bilden vier Winkel. Scheitelwinkel liegen sich gegenüber und sind gleich groß. Nebenwinkel liegen nebeneinander und ergeben 180°. Alle vier zusammen ergeben 360°.
Schneidet eine dritte Gerade zwei Parallelen, wiederholt sich das Winkelmuster an beiden Schnittpunkten:
| Paar | Lage | Beziehung |
|---|---|---|
| Stufenwinkel (F) | gleiche Stelle an beiden Parallelen | gleich groß |
| Wechselwinkel (Z) | innen, auf gegenüberliegenden Seiten | gleich groß |
| E-Winkel | innen, auf derselben Seite | ergeben 180° |
Umgekehrt gilt auch: Sind Stufen- oder Wechselwinkel gleich, sind die Geraden parallel.
Winkelsumme 180°. Zieh durch die Spitze C eine Parallele zu c. Dort tauchen α und β als Wechselwinkel wieder auf, und α, γ, β liegen nebeneinander auf einer Geraden: α + β + γ = 180°.
Verhalten sich die Winkel wie 1 : 2 : 3, gilt x + 2x + 3x = 180°, also x = 30°: Die Winkel sind 30°, 60° und 90° (rechtwinklig). Bei 40° an der Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks haben die Basiswinkel je (180° − 40°) / 2 = 70°.
Ein Außenwinkel ist der Nebenwinkel eines Innenwinkels. Im Dreieck ist er so groß wie die beiden nicht anliegenden Innenwinkel zusammen: Bei α = 50°, β = 60°, γ = 70° ist der Außenwinkel an C 110° = 50° + 60°. Alle Außenwinkel eines konvexen Vielecks ergeben zusammen 360°.
Ein Vieleck mit n Ecken zerlegst du von einer Ecke aus in n − 2 Dreiecke:
Winkelsumme = (n − 2) · 180°Viereck 360°, Fünfeck 540°, Sechseck 720°
Im regelmäßigen Sechseck sind alle Winkel gleich: 720° / 6 = 120° innen, 60° außen.
(7 − 2) · 180° = 900°.
| Viereck | Merkmal | Symmetrieachsen |
|---|---|---|
| Quadrat | vier gleiche Seiten, vier rechte Winkel | 4 |
| Rechteck | vier rechte Winkel | 2 |
| Raute | vier gleiche Seiten | 2 |
| Parallelogramm | zwei Paar parallele Seiten | 0 |
| Trapez | ein Paar parallele Seiten | 0 |
| Deltoid | zwei Paar gleiche Nachbarseiten | 1 |
Die Diagonalen halbieren sich in Parallelogramm, Raute, Rechteck und Quadrat. Gleich lang sind sie in Rechteck und Quadrat, senkrecht stehen sie in Raute, Quadrat und Deltoid. Im Parallelogramm und in der Raute sind Gegenwinkel gleich, benachbarte Winkel ergeben 180°.
Ein Orthogon ist ein Vieleck, dessen Seiten alle rechtwinklig aufeinandertreffen.
| Figur | Umfang | Fläche |
|---|---|---|
| Rechteck | 2a + 2b | a · b |
| Quadrat | 4a | a² |
| Parallelogramm | 2a + 2b | g · h |
| Dreieck | a + b + c | g · h / 2 |
| Trapez | alle Seiten addieren | (a + c) / 2 · h |
| Kreis | 2πr = πd | πr² |
Die Höhe h steht senkrecht auf der Grundseite g; im stumpfwinkligen Dreieck kann sie außerhalb liegen, dann verlängerst du g. Das Dreieck ist ein halbes Rechteck: g = 8 cm, h = 5 cm ergeben A = 8 · 5 / 2 = 20 cm².
Schiebst du die obere Seite eines Quadrats zur Seite, entsteht ein Parallelogramm mit gleicher Fläche, nur der Umfang wächst. Beim Trapez sind a und c die parallelen Seiten: a = 10, c = 6, h = 5 cm ergeben 16 / 2 · 5 = 40 cm².
Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras a² + b² = c² (c ist die Hypotenuse, a und b sind die Katheten). Damit rechnest du:
Der Kreis besteht aus allen Punkten mit Abstand r vom Mittelpunkt, d = 2r. Der Durchmesser passt genau π-mal in den Umfang (π ≈ 3,14), also U = πd = 2πr. Für die Fläche legst du viele schmale Sektoren abwechselnd nebeneinander: Es entsteht fast ein Rechteck aus halbem Umfang π · r und Höhe r, also A = πr².
Beispiel r = 5 cm: U = 2 · 3,14 · 5 = 31,4 cm und A = 3,14 · 25 = 78,5 cm². Überschlage mit π ≈ 3, wenn die Antworten weit auseinanderliegen.
Der Zentriwinkel hat seinen Scheitelpunkt im Mittelpunkt M, der Peripheriewinkel (Umfangswinkel) auf dem Kreis. Über demselben Bogen ist der Zentriwinkel doppelt so groß wie der Peripheriewinkel. Ein Sektor mit Zentriwinkel φ ist φ/360° des Kreises: Bogenlänge U · φ/360°, Fläche A · φ/360°.
Daraus folgt der Satz des Thales: Liegt die dritte Ecke eines Dreiecks auf dem Halbkreis über dem Durchmesser, ist der Winkel dort 90° (Zentriwinkel 180°, halbiert).
Kongruente Figuren sind deckungsgleich. Ähnliche Figuren haben gleiche Winkel und gleiche Seitenverhältnisse, nur eine andere Größe: Alle Längen ändern sich um denselben Faktor k. Was das für Flächen und Volumen heißt → Ausführlich in: Geometrie 3D
Schrittfolge
Deine AufgabeGehe die drei Schritte durch: Wo tauchen α und β an der Spitze C wieder auf? Welche Teile des Rechtecks sind gleich groß? Zähle die Kästchen in den drei Quadraten nach.
Schritt 1 von 3
Schrittfolge
Deine AufgabeRechne U, A und d für das Rechteck selbst nach. Erkläre beim Kreis, warum die umgelegten Sektoren fast ein Rechteck mit den Seiten π · r und r bilden.
Schritt 1 von 2
