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Mathematik · Vektorrechnung
Skalarprodukt ausrechnen, daraus den Winkel zwischen Vektoren und die Orthogonalität bestimmen, Rechenregeln, Normalvektor von Gerade und Ebene sowie die Parameterform einer Geraden.
Das Skalarprodukt macht aus zwei Vektoren eine einzige Zahl. Ist sie 0, stehen die Vektoren senkrecht, und ihr Vorzeichen verrät, ob der Winkel spitz oder stumpf ist.
a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃Komponenten malnehmen, dann addieren
Das Ergebnis ist ein Skalar, kein Vektor, und die Formel gilt in 2D wie in 3D. Für a = (1, −3, 2) und b = (4, 2, 5) gilt 1·4 + (−3)·2 + 2·5 = 4 − 6 + 10 = 8. In 2D: (3, −2) · (1, 4) = 3 − 8 = −5.
Dasselbe Ergebnis liefert die Form mit Längen und Winkel.
Bildlich: Fällt Licht senkrecht auf die Richtung von a, wirft b einen Schatten auf a. Das Skalarprodukt ist die Länge von a mal die Länge dieses Schattens, und negativ, wenn b gegen a zeigt. Mit |a| = 4, |b| = 2 und α = 60° ist es 4 · 2 · 0,5 = 4.
| a⃗ · b⃗ | Winkel α | Lage |
|---|---|---|
| positiv | spitz, unter 90° | grob gleiche Richtung |
| 0 | genau 90° | senkrecht (orthogonal) |
| negativ | stumpf, über 90° | grob entgegengesetzt |
Bei α = 0° (gleich gerichtet) ist a · b = |a| · |b|, bei α = 180° (entgegengesetzt) ist es −|a| · |b|. Parallele Vektoren ungleich dem Nullvektor ergeben also nie 0. Test auf Orthogonalität: (5, −2) · (2, 5) = 10 − 10 = 0, also senkrecht.
Zwei Vektoren sind genau dann orthogonal, wenn a · b = 0. Das gilt auch für den Nullvektor, er ist zu jedem Vektor orthogonal.
cos α = (a · b) / (|a| · |b|)danach α = arccos
Der Arkuscosinus liefert 0° bis 180°, gemeint ist also immer der kleinere Winkel. Ein negativer Cosinus heißt stumpf: cos α = −1/2 gibt 120°. Verlängerst du einen Vektor, bleibt der Winkel gleich. → Ausführlich in: Winkelfunktionen
Auch die Arbeit ist ein Skalarprodukt: W = F · s = F · s · cos α. Steht die Kraft senkrecht zum Weg, ist W = 0. → Ausführlich in: Arbeit und Energie
Ein Normalvektor n steht senkrecht auf einer Geraden oder Ebene. Du prüfst ihn mit dem Skalarprodukt: n · (Richtungsvektor) = 0. Seine Länge ist egal, jedes Vielfache außer 0 passt, und er muss kein Einheitsvektor sein. Verwechsle ihn nicht mit dem Richtungsvektor, der entlang der Geraden zeigt.
Parallele Ebenen haben Normalvektoren, die Vielfache voneinander sind. Den Abstand eines Punkts von einer Ebene liefert die Hessesche Normalform, die den Normalvektor nutzt.
g: X = P + t · (Q − P)t ist eine beliebige reelle Zahl
P ist der Stützvektor (Ortsvektor von P), Q − P der Richtungsvektor. Für P(1 | 2) und Q(4 | 6) ist der Richtungsvektor (3, 4). Mit t = 0 erhältst du P, mit t = 1 Q, mit t = 2 den Punkt (7 | 10).
Ein Normalvektor dieser Geraden ist (4, −3), denn 3·4 + 4·(−3) = 0. Ihre Steigung liest du am Richtungsvektor ab: k = 4/3 (Δy/Δx). → Ausführlich in: Geradenfunktion
Interaktives Vektormodell
Deine AufgabeVerschiebe a und b und rechne die Komponentenprodukte mit. Stelle parallele, senkrechte und entgegengesetzte Vektoren ein. Vergleiche den Normalvektor n und prüfe den Nullvektor.
