Essenzielle Cookies sind nötig. Analyse und Werbemessung nur mit deiner Zustimmung.
Mathematik · Vektorrechnung
Vektoren als Verschiebungen: Vektor zwischen zwei Punkten, Ortsvektor, Addition, Subtraktion, Vielfache, Betrag, Einheitsvektor und die Rechenregeln mit Rechenbeispielen.
Ein Vektor ist eine Verschiebung aus Länge und Richtung. Du rechnest mit ihm immer Komponente für Komponente.
Ein Skalar ist nur eine Zahl (Masse, Temperatur). Ein Vektor hat zusätzlich eine Richtung (Weg, Geschwindigkeit, Kraft). → Ausführlich in: Abgeleitete Größen
Parallel verschoben bleibt ein Vektor derselbe. Im MedAT hat er 2 oder 3 Komponenten, als Spalte oder Zeile geschrieben (gleichwertig): a = (3, 2, −1).
AB = B − AEnde minus Anfang
Für A(1 | 3 | −2) und B(4 | −1 | 0) ist AB = (4 − 1, −1 − 3, 0 − (−2)) = (3, −4, 2). Umgekehrt ist BA = (−3, 4, −2) = −AB.
Der Ortsvektor eines Punkts führt vom Ursprung zu ihm, seine Komponenten sind genau die Koordinaten.
Beides läuft komponentenweise. Für a = (4, −2, 1) und b = (1, 3, −5) gilt:
Interaktives Vektormodell
Deine AufgabeZiehe die Spitzen von a und b. Sage die Summe voraus, wähle dann Subtraktion und prüfe den Verbindungs-Pfeil. Untersuche bei der Skalierung auch s = 0 und negative Werte.
a − b zeigt von der Spitze von b zur Spitze von a, wenn beide am selben Punkt starten. b − a zeigt zurück.
Ein Vielfaches k · a multiplizierst du in jeder Komponente: 2 · (4, −2, 1) = (8, −4, 2). |k| > 1 streckt, |k| < 1 staucht, ein negatives k kehrt die Richtung um.
|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)Länge, nie negativ
Das ist Pythagoras. Für (2, 6, 9) ergibt sich √(4 + 36 + 81) = √121 = 11. Nur der Nullvektor (0, 0, 0) hat Betrag 0. Für Vielfache gilt: |k · a| = |k| · |a|.
Der Einheitsvektor hat den Betrag 1 und zeigt wie a in dieselbe Richtung. Du erhältst ihn durch Normierung, also a durch |a| teilen. Aus (2, 6, 9) wird (2/11, 6/11, 9/11).
Normieren heißt durch den Betrag teilen, und der ist beim Nullvektor 0. Durch 0 darfst du nicht teilen.
Winkel zwischen Vektoren und Normalvektoren → Ausführlich in: Vektorrechnung (Winkel, Skalarprodukt, Normalvektor)
