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Vektoren sind durch ihre Länge (Betrag) und Richtung definiert und lassen sich aus den Koordinaten zweier Punkte berechnen. Im Gegensatz zu Skalaren beschreiben sie sowohl eine Größe als auch eine Richtung im Raum. Die grundlegenden Operationen umfassen die komponentenweise Addition, Subtraktion, Skalarmultiplikation, die Berechnung der Vektorlänge (Betrag) sowie die Normierung auf einen Einheitsvektor.
In der Mathematik und Physik unterscheiden wir zwischen einem Skalar, der lediglich einen Zahlenwert (wie Temperatur oder Masse) besitzt, und einem Vektor, der zusätzlich eine Richtung im Raum vorgibt. Ein Vektor kann man sich wie eine Verschiebungsvorschrift vorstellen: 'Gehe 3 Schritte nach Osten und 2 Schritte nach Norden'.
Ein Vektor ist durch zwei Eigenschaften vollständig definiert: seine Länge (Betrag) und seine Richtung. Ein Vektor kann beliebig parallel verschoben werden, ohne sich zu verändern, da seine Länge und Richtung gleich bleiben. Vektoren kennzeichnet man oft mit einem Kleinbuchstaben mit Pfeil (z. B. a⃗), Fettdruck (a) oder Unterstrich (a). Sind zwei Punkte A und B gegeben, so bezeichnet AB⃗ den Vektor von A nach B.
Ein Vektor im dreidimensionalen Raum wird meist als Spaltenvektor mit drei Komponenten (x, y, z) dargestellt. Diese Komponenten geben an, wie weit man sich entlang der jeweiligen Koordinatenachsen bewegen muss. Der Ursprungspunkt eines Vektors wird oft als Fußpunkt, das Ende als Spitze bezeichnet.
Vektoren können zwei Komponenten (in der Ebene) oder drei Komponenten (im Raum) haben; im MedAT kommen nur diese vor. Um den Vektor zwischen zwei Punkten zu berechnen, zieht man die Koordinaten des Startpunkts von denen des Endpunkts ab. Für Punkte A(x₁, y₁) und B(x₂, y₂) erhält man den Vektor AB⃗ = (x₂ − x₁, y₂ − y₁); im Raum mit dritter Koordinate entsprechend. Als Darstellung nutzt man Zeilen- oder Spaltenvektoren, die mathematisch gleichwertig sind.
Die Vektoraddition erfolgt komponentenweise. Wenn wir zwei Vektoren addieren, addieren wir einfach die jeweiligen x-, y- und z-Werte miteinander. Geometrisch entspricht dies dem Hintereinanderschalten von Pfeilen: Man setzt den Fußpunkt des zweiten Vektors an die Spitze des ersten. Das Ergebnis ist der Vektor vom Start des ersten bis zur Spitze des zweiten.
Die Vektorsubtraktion funktioniert analog zur Addition, jedoch werden die Komponenten voneinander abgezogen. Geometrisch betrachtet ist der Differenzvektor a⃗ - b⃗ der Pfeil, der von der Spitze von b⃗ zur Spitze von a⃗ zeigt. Er beschreibt also den Weg 'von B nach A'.
Der Betrag eines Vektors entspricht seiner geometrischen Länge. In einem kartesischen Koordinatensystem berechnet man diesen mithilfe des Satzes von Pythagoras in drei Dimensionen: |a⃗| = √(x² + y² + z²). Der Betrag ist immer eine nicht-negative reelle Zahl (ein Skalar).
Ein Einheitsvektor ist ein spezieller Vektor, dessen Betrag exakt 1 beträgt. Er dient dazu, eine reine Richtung ohne eine spezifische Skalierung anzugeben. Man erhält ihn, indem man einen beliebigen Vektor durch seinen eigenen Betrag dividiert (Normierung).
Bei der Skalarmultiplikation wird ein Vektor mit einer reellen Zahl (einem Skalar) multipliziert. Dabei wird jede Komponente des Vektors mit dieser Zahl multipliziert. Dies bewirkt eine Streckung (bei Werten > 1) oder Stauchung (bei Werten < 1) des Vektors. Ein negativer Skalar kehrt zusätzlich die Richtung des Vektors um.
