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Physik · Mechanik
Translation und Rotation als die zwei Grundbewegungen: v, a, freier Fall und Kreisbewegung, dazu Winkelgeschwindigkeit, Drehmoment, Trägheitsmoment und Hebelgesetz.
Bei der Translation bewegen sich alle Punkte gleich, bei der Rotation kreisen sie um eine Achse. Jede Größe hat ein Drehgegenstück: Weg ↔ Winkel, v ↔ ω, Masse ↔ Trägheitsmoment, Kraft ↔ Drehmoment.
Bei einer reinen Translation durchläuft jeder Punkt eines starren Körpers eine parallel verschobene Bahn, der Körper dreht sich nicht. Ein Punkt hat 3 Freiheitsgrade der Translation, ein starrer Körper insgesamt 6 (3 Translation + 3 Rotation).
| Größe | Formel | Einheit |
|---|---|---|
| Geschwindigkeit v | Δs / Δt | m/s |
| Beschleunigung a | Δv / Δt | m/s² |
Beides sind Vektoren. Beschleunigung ist jede Änderung von v, auch Abbremsen oder eine reine Richtungsänderung. Im s-t-Diagramm ist v die Steigung, im v-t-Diagramm ist a die Steigung und der Weg die Fläche darunter.
Der Weg ist die gelaufene Strecke (Skalar), die Verschiebung der Vektor von Start zu Ziel.
| Bewegung | Geschwindigkeit | Weg |
|---|---|---|
| gleichförmig (a = 0) | v konstant | s = v · t |
| gleichmäßig beschleunigt | v = v₀ + a · t | s = s₀ + v₀ · t + ½ · a · t² |
Startest du aus der Ruhe, gilt s = ½ · a · t². Zum Umrechnen: 1 m/s = 3,6 km/h, also 72 km/h = 20 m/s. Beschleunigt ein Auto in 8 s von 0 auf 72 km/h, ist a = 20 / 8 = 2,5 m/s².
Der freie Fall ohne Luftwiderstand ist gleichmäßig beschleunigt mit a = g ≈ 9,81 m/s². Es gilt v = g · t und s = ½ · g · t², verknüpft in v² = 2 · g · s. Mit g ≈ 10 m/s²: Aus 10 m Höhe trifft ein Körper mit √200 ≈ 14 m/s auf, nicht mit 20 m/s.
Bei der Rotation bewegen sich alle Punkte auf Kreisbahnen um eine gemeinsame Drehachse. Punkte auf der Achse ruhen, weiter außen sind Weg und Bahngeschwindigkeit größer. Ein rollendes Rad ist beides: Der Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) wandert, das Rad dreht sich. Ohne Rutschen sind beide über v = ω · r gekoppelt.
| Translation | Rotation | Zusammenhang |
|---|---|---|
| Weg s | Winkel φ (rad) | s = φ · r |
| Geschwindigkeit v | Winkelgeschw. ω | v = ω · r |
| Masse m | Trägheitsmoment I | I = m · r² (Punktmasse) |
| Kraft F | Drehmoment M | M = F · r |
Die Winkelgeschwindigkeit ω = Δφ / Δt hat die Einheit rad/s oder 1/s, nicht m/s. Alle Punkte haben dasselbe ω, aber verschiedenes v. Bei einer Umdrehung gilt ω = 2π / T = 2π · f mit T = 1 / f, daraus v = 2π · r · f. Verdoppelst du r bei gleichem ω, verdoppelt sich v.
Das Drehmoment M = F · r (Kraft senkrecht zum Hebelarm r, Einheit N·m) ist die Drehwirkung einer Kraft, ein Vektor (r × F). Das Trägheitsmoment I misst den Widerstand gegen Drehbeschleunigung und hängt von der Massenverteilung und der Achse ab. Es gilt M = I · α, also I = M / α (α: Winkelbeschleunigung).
Ein Hebel ist im Gleichgewicht, wenn die Drehmomente gleich sind: Kraft · Kraftarm = Last · Lastarm. Willst du 100 N Last am Arm von 0,2 m mit einem Arm von 1 m halten, brauchst du F = 100 · 0,2 / 1 = 20 N.
Mehr zur Drehung: Rotationsenergie → Arbeit und Energie, Drehimpuls → Erhaltungssätze
Auch bei konstantem ω ist die Kreisbewegung beschleunigt: Die Richtung von v ändert sich ständig. Die Beschleunigung zeigt zum Mittelpunkt, nicht entlang der Bahn. Gleichmäßig beschleunigt ist sie nicht, weil sich die Richtung dauernd ändert.
Die Kreisbewegung ist ein Sonderfall der krummlinigen Bewegung. Dreht sich der Körper um eine Achse durch sich selbst, heißt das Drehbewegung; umkreist er einen äußeren Punkt, Kreisbewegung.
Die Zentripetalkraft FZ = m · v² / r = m · ω² · r zeigt zum Mittelpunkt. Sie ist nur der Name für Faden, Reibung oder Gravitation in dieser Rolle. Reißt der Faden, fliegt der Körper geradlinig entlang der Tangente weiter. Bei gleichem ω wächst FZ linear mit r; doppeltes ω ergibt die vierfache Kraft.
Die Zentrifugalkraft zeigt nach außen und ist eine Trägheitskraft: Nur wer mitrotiert, spürt sie. Im ruhenden Inertialsystem gibt es sie nicht.
Bewegungsmodell
Deine AufgabeErhöhe ω langsam, während die Kugel kreist, und sage voraus, ab welchem Wert der Faden reißt (FZ = m · ω² · r > Fmax). In welche Richtung fliegt die Kugel dann weiter?
