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Physik · Schwingungen und Wellen
Das Fadenpendel schwingt mit T = 2π·√(l/g), unabhängig von Masse und kleiner Amplitude. Dazu der Vergleich mit dem Federpendel und der Energiewechsel beim Schwingen.
Beim Fadenpendel bestimmen nur die Länge l und die Fallbeschleunigung g die Periodendauer: T = 2π·√(l/g). Die Masse spielt keine Rolle.
Ein Fadenpendel (idealisiert: mathematisches Pendel) ist eine punktförmige Masse an einem Faden, den du als masselos annimmst. Zurück zur Ruhelage zieht der Teil der Gewichtskraft entlang der Kreisbahn, F = m·g·sin φ. Für kleine Winkel (Bogenmaß) gilt sin φ ≈ φ: Die Kraft ist proportional zur Auslenkung, also harmonisch.
Amplitude, Periodendauer, Frequenz und das Federpendel stehen bei den harmonischen Schwingungen. → Ausführlich in: Harmonische Schwingungen
T = 2π·√(l/g)ω₀ = √(g/l), nur für kleine Winkel
Ein Pendel mit l = 1 m braucht auf der Erde T = 2π·√(1 / 9,81) ≈ 2,0 s und schwingt mit f ≈ 0,5 Hz. Umgekehrt hat ein Pendel mit T = 2 s die Länge l = g·T² / 4π² ≈ 1 m. Bei l = 0,25 m ist ω₀ = √(9,81 / 0,25) ≈ 6,3 1/s und T ≈ 1,0 s.
| Änderung | Wirkung auf T |
|---|---|
| T doppelt so groß |
| Masse vervierfacht | T unverändert |
| Amplitude etwas größer | T fast unverändert |
| g kleiner (Mond) | T größer |
Mehr Masse heißt mehr Gewichtskraft, aber auch mehr Trägheit. Beides wächst im selben Verhältnis, die Beschleunigung bleibt gleich.
Auf dem Mond (g ≈ 1,62 m/s²) schwingt dasselbe Pendel etwa 2,5-mal so langsam, denn √(9,81 / 1,62) ≈ 2,5.
Die Formel ist eine Kleinwinkelnäherung. Bei 15° ist T erst etwa 0,4 % länger, bei 25° etwa 1,2 %. Bei großen Winkeln wird die Schwingung anharmonisch. Weil T bei kleinen Ausschlägen kaum von der Amplitude abhängt, taugt das Pendel als Taktgeber einer Uhr.
| Fadenpendel | Federpendel | |
|---|---|---|
| Rückstellkraft | Gewichtskraft-Anteil | Federkraft D·y |
| Periodendauer | 2π·√(l/g) | 2π·√(m/D) |
| hängt von m ab | nein | ja |
| hängt von g ab | ja | nein |
Am Umkehrpunkt ist die Masse am höchsten und ruht kurz: nur Lageenergie Epot = m·g·h. In der Ruhelage ist h = 0 und das Tempo maximal: nur Ekin = ½·m·v². Ohne Reibung bleibt die Summe konstant.
Die Höhe über der Ruhelage ist h = l·(1 − cos φ). Aus ½·m·v² = m·g·h folgt vmax = √(2·g·h), unabhängig von der Masse: Bei h = 0,2 m sind das etwa 2,0 m/s. → Ausführlich in: Erhaltungssätze
Reibung und Luftwiderstand entziehen Energie, die Amplitude sinkt. Bei schwacher Dämpfung bleibt T nahezu gleich. → Ausführlich in: Gedämpfte Schwingungen
Interaktives Pendelmodell
Deine AufgabeVerdopple die Fadenlänge, während das Pendel schwingt. Wie ändert sich T? Prüfe danach: Was bewirken Masse, Amplitude und der Wechsel auf den Mond?
